ハミルトンの正準方程式

まとめ

ハミルトニアン

座標$q_{i}$、 運動量$p_{i}$の2変数とする関数 : ハミルトニアン$H$ $$ H(p_{r}, q_{r}; t) = \sum_{r} p_r \dot{q_{r}} - L(q_{r}, \dot {q_{r}}; t) \tag{1} $$

正準方程式

\begin{eqnarray} \frac{d q_r}{dt} & = & \frac{\partial H(q_{r}, p_{r}; t)}{\partial p} \newline \frac{d p_r}{dt} & = & - \frac{\partial H(q_{r}, p_{r}; t)}{\partial q} \end{eqnarray}

正準方程式の導出

方針 : ハミルトニアンを全微分・一般化運動量の概念・ラグランジアンの全微分を用いて係数比較

ハミルトニアン$H$を全微分する

\begin{eqnarray} dH(p_{r}, q_{r}; t) & = & d (\sum_{r} p_r \dot{q_{r}} - L(q_{r}, \dot {q_{r}}; t) ) \newline & = & \sum_{r} ( \dot{q_{r}} d p_{r} + p_{r} d \dot{q_{r}} ) - d L(q_{r}, \dot {q_{r}}; t) \end{eqnarray}

オイラー・ラグランジュ方程式$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}) = \frac{\partial L}{\partial q_{i}}$ と 一般化運動量の定義 $p_{r} = \frac{\partial L(q_{r}, \dot{q_{r}}; t)}{\partial \dot{q_{r}}}$の二式から

$$ \frac{d p_{r}}{d t} = \frac{\partial L(q_{r}, \dot{q_r}; t)}{\partial {q_{r}}} $$

ラグランジアン$L$を変数が$q_r, \dot{q_r}$であることに注意して全微分すると、 \begin{eqnarray} dL(q_{r}, \dot {q_{r}}; t) & = & \sum_r ( \frac{ \partial L(q_{r}, \dot {q_{r}}; t)}{\partial q_{r}} d q_{r} + \frac{ \partial L(q_{r}, \dot {q_{r}}; t)}{\partial \dot{q_{r}}} d \dot{q_{r}} ) \newline & = & \sum_r ( \frac{ d p_r }{d t} d q_{r} + p_r d \dot{q_{r}} ) \leftarrow 一般化運動量の定義式と上式を代入 \newline & = & \sum_r ( \dot{p_r} d q_{r} + p_r d \dot{q_{r}} ) \end{eqnarray}

上式をハミルトニアンの全微分の形に代入する。

\begin{eqnarray} dH(p_{r}, q_{r}, t) & = & d (\sum_{r} p_r \dot{q_{r}} ) - dL(q_{r}, \dot {q_{r}}, t) \newline & = & \sum_{r} ( d p_{r} \dot{q_{r}} + p_{r} d \dot{q_{r}} ) - \sum_r ( \dot{p_r} d q_{r} + p_r d \dot{q_{r}} ) \newline & = & \sum_{r} \dot{q_{r}} d p_{r} + \sum_{r} p_{r} d \dot{q_{r}} - \sum_{r} \dot{p_{r}} d q_{r} - \sum_{r} p_{r} d \dot{q_{r}} \newline & = & \sum_{r} \dot{q_{r}} d p_{r} - \sum_{r} \dot{p_{r}} d q_{r} \tag{*} \end{eqnarray}

また、ハミルトニアン$H$を全微分すると

$$ dH(q_{r}, p_{r}, t) = \frac{ \partial H(q_{r}, p_{r}, t)}{\partial q_{r}} d q_{r} + \frac{ \partial H(q_{r}, p_{r}, t)}{\partial p_{r}} d p_{r} \tag{**} $$

(*)式, (**)式を係数比較をして ２つの式がハミルトンの正準方程式として導出できる。

$$ \frac{dq}{dt} = \frac{\partial H(q_{r}, p_{i})}{\partial p}$$ $$\frac{dp}{dt} = - \frac{\partial H(q_{r}, p_{i})}{\partial q}$$

ハミルトニアンの物理的意味

ハミルトニアンは全エネルギー

$H=K+U$

$K$:運動エネルギー $U$:ポテンシャル