ハミルトニアン例題

例題1：三次元中の相互作用を受けない自由粒子

運動エネルギー$T$は $$ T = \frac{1}{2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) $$

運動量$p$は

それぞれ \begin{eqnarray} p_{x} = \frac{\partial T}{\partial \dot{x} } = m \dot{x} \newline p_{y} = \frac{\partial T}{\partial \dot{y} } = m \dot{y} \newline p_{z} = \frac{\partial T}{\partial \dot{z} } = m \dot{z} \newline \end{eqnarray}

ハミルトニアン$H$は \begin{eqnarray} H(p_{r}, q_{r}; t) & = & \sum_{r} p_r \dot{q_{r}} - L(p_{r}, \dot {q_{r}}; t) \newline & = & p_{x} \dot{x} + p_{y} \dot{y} + p_{z} \dot{z} - \frac{1}{2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) \newline & = & \frac{1}{2} ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) \newline ( & \uparrow & ここで計算を止めてはいけない　\because ハミルトニアンHには速度が含まれてはいけない ) \newline & = & \frac{1}{2} m ( (\frac{p_{x}}{m})^2 + (\frac{p_{y}}{m})^2 + (\frac{p_{z}}{m})^2) \newline & = & \underline{ \frac{1}{2m} ( p_{x}^2 + p_{y}^2 + p_{z}^2) } \end{eqnarray}

例題2 : 中心力場中の三次元の質点運動

運動エネルギー$T$は

$$ T = \frac{1}{2} ( \dot{r}^{2} + r^{2} \dot{\theta}^{2} + r^{2} \sin{\theta}^{2} \dot{\phi}^{2} ) $$

運動量はそれぞれ \begin{eqnarray} p_{r} & = & \frac{\partial T}{\partial \dot{r} } = m \dot{r} \newline p_{\theta} & = & \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta} } = m r^{2} \dot{\theta} \newline p_{\phi} & = & \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi} } = m r^{2} \sin^{2} \theta \dot{\phi} \newline \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} H & = & p_{r} \dot{r} + p_{\theta} \dot{\theta}+ p_{\phi} \dot{\phi} - L \newline & = & \frac{1}{2 m}( p_{r}^{2} + \frac{1}{r^{2}} p_{\theta}^{2} + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta} p_{\phi}^{2}) + U(r) \end{eqnarray}

例題3:荷電粒子

\begin{eqnarray} L & = & \frac{1}{2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 ) -q (\phi - \boldsymbol{ v } \cdot \boldsymbol{ A } ) \newline & = & \frac{1}{2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 ) -q \phi + A_x \dot{x} + A_y \dot{y} + A_z \dot{z} \end{eqnarray}

運動量はそれぞれ \begin{eqnarray} p_{x} & = & \frac{\partial T}{\partial \dot{x} } = m \dot{x} + q A_x \Leftrightarrow \dot{x} = \frac{1}{m} (p_x - q A_x) \newline p_{y} & = & \frac{\partial T}{\partial \dot{y} } = m \dot{y} + q A_y \Leftrightarrow \dot{y} = \frac{1}{m} (p_x - q A_y) \newline p_{z} & = & \frac{\partial T}{\partial \dot{z} } = m \dot{z} + q A_z \Leftrightarrow \dot{z} = \frac{1}{m} (p_z - q A_z) \newline \end{eqnarray}

$ H = H(q,p) $ なので、頑張って$\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$を消す! \begin{eqnarray} H & = & p_{x} \dot{x} + p_{y} \dot{y}+ p_{z} \dot{z} - L \newline & = & \frac{1}{2 m} \lbrace ( (p_x - q A_x)^ 2 + (p_y - q A_y)^ 2 + (p_z - q A_z)^ 2 \rbrace + q \phi \end{eqnarray}